### [你的照片其实是一道数学题——图片压缩背后的数学原理](https://www.thinkhow.tech/article/582)

**Published:** 2026-07-23T15:21:05

**Author:** 段, 誉

**Excerpt:** 用高中数学看懂JPG和PNG的数学本质：DCT把[100,200]变成[212,-71]再量化成[150,150]；LZ77用(3,3)指针替代重复的”abc”；霍夫曼编码5种符号182位代替264位。从此再也不会存错图、用错格式。

## JPG压缩：删掉你看不见的细节

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DCT原理 → 概念展开

JPG的核心技术叫作**离散余弦变换（DCT）**。它先把一张图切成很多个8×8的小方块，然后对每个方块做二维DCT变换。完整的公式长这样：

\\(F(u,v) = \\frac{1}{4} C(u)C(v) \\sum\_{x=0}^{7} \\sum\_{y=0}^{7} f(x,y) \\cos\\frac{(2x+1)u\\pi}{16} \\cos\\frac{(2y+1)v\\pi}{16}\\)

看起来有点复杂，但它的核心思想可以用一个简单的例子讲清楚。我们用一维DCT来理解，把两个相邻像素的亮度值看作一个N=2的序列：

输入 f = \[100, 200\]。一维DCT公式简化为：

$$F(u) = C(u) \\sum\_{x=0}^{1} f(x) \\cos\\left\[\\frac{\\pi u (2x+1)}{4}\\right\]$$

其中 u=0 时$$C(0)=\\sqrt(1/2)≈0.7071$$ ，u=1 时 C(1)=1。

**先算F(0)——直流系数（DC），代表「平均亮度」：**

$$F(0) = 0.7071 \\times (100\\cos 0 + 200\\cos 0) = 0.7071 \\times 300 \\approx 212$$

**再算F(1)——交流系数（AC），代表「明暗差异」：**

$$F(1) = 1 \\times \\left\[100\\cos\\frac{\\pi}{4} + 200\\cos\\frac{3\\pi}{4}\\right\]$$

查表：$$\\cos\\frac{\\pi}{4} = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\approx 0.7071, \\quad \\cos\\frac{3\\pi}{4} = -\\frac{\\sqrt{2}}{2} \\approx -0.7071$$

$$F(1) = 100 \\times 0.7071 + 200 \\times (-0.7071) = 70.71 – 141.42 \\approx -71$$

所以两个像素 \[100, 200\] 经过DCT后变成了两个系数 \[212, -71\]。其中212代表整体的亮度水平（平均亮度×√2），-71代表两个像素之间的差异——这就是把「空间信息」转换成了「频率信息」。

量化与有损 → 对比深化

接下来是量化的步骤。人的眼睛对低频（大面积明暗）很敏感，但对高频（细微差异）很迟钝。所以JPG把高频系数除以一个较大的数字再取整，许多高频系数就这样变成了零。

在我们的例子里，假设我们把F(1)设为0（丢弃差异信息），只保留F(0)=212。然后做逆变换看看结果：

$$f'(0) = 0.7071 \\times 212 \\times \\cos 0 + 1 \\times 0 \\times \\cos\\frac{\\pi}{4} = 150$$ $$f'(1) = 0.7071 \\times 212 \\times \\cos 0 + 1 \\times 0 \\times \\cos\\frac{3\\pi}{4} = 150$$

原来 \[100, 200\] 两个差异明显的数值，量化后逆变换回来变成了 \[150, 150\]——两个值都变成了平均值。这就是「有损压缩」的数学本质：丢弃高频分量来省空间，代价是两个原本不同的像素变得一模一样了。

扩展到真实场景：8×8的方块经过2D DCT后得到64个系数，左上角的F(0,0)叫DC系数（平均亮度），越往右下角频率越高。JPEG对高频系数（右下角）用大的量化数值去除，让它们变成零；对低频系数（左上角）用小的量化值，尽量保留。量化程度越高，零越多，文件越小，画质损失也越大——这就是为什么反复保存JPG会越来越糊。

霍夫曼编码 → 例证展开

量化之后，剩下的非零系数经过Z字形扫描重新排列，再交给**霍夫曼编码**进一步压缩。霍夫曼编码的核心思想是：给出现频率高的符号分配短编码，给频率低的分配长编码。

举一个简单的例子。假设某张图量化后的系数中，「0」出现了50次，「1」出现了20次，「2」出现了10次，「3」出现了5次，「4」出现了3次。霍夫曼编码会这样建树排序：

| 符号  | 出现次数 | 编码  | 位数  |
| --- | --- | --- | --- |
| 0   | 50次 | **0** | 1位  |
| 1   | 20次 | **10** | 2位  |
| 2   | 10次 | **110** | 3位  |
| 3   | 5次  | **1110** | 4位  |
| 4   | 3次  | **1111** | 4位  |

总共88个符号，等长编码（3位）需要264位，霍夫曼编码只需要50×1+20×2+10×3+5×4+3×4=182位，省了31%。

## PNG压缩：不丢一个像素的数学魔术

LZ77算法 → 概念展开

PNG走的是完全不同的路：**无损压缩**。它的核心技术叫**DEFLATE算法**，由两个阶段组成。第一阶段：**LZ77算法**——「找重复」。用一个滑动窗口扫描数据，发现当前数据在过去32KB内已经出现过时，就记录一个指针（距离，长度），而不是重复存储相同的字节。

输入字符串：`abcabcabc`（9个字符）。逐位扫描过程如下：

| 位置  | 当前字符 | 是否出现过？ | 输出  |
| --- | --- | --- | --- |
| 0   | a   | 未出现 → 输出原文 | **a** |
| 1   | b   | 未出现 → 输出原文 | **b** |
| 2   | c   | 未出现 → 输出原文 | **c** |
| 3   | a   | 在位置0出现过。找最长匹配：abc在位置0-2出现过 ✓ | **(3, 3)** |
| 6   | a   | 在位置0出现过。找最长匹配：abc在位置0-2出现过 ✓ | **(6, 3)** |

结果：`a b c (3,3) (6,3)`，从9个字符压缩到5个token。解压时，(3,3)的意思是「回到前面第3个位置，复制3个字符过来」，完全可以还原成「abcabcabc」。这就是无损压缩的精髓——不删任何信息，只换一种更紧凑的存储方式。

预过滤 → 概念界定

第二阶段是**霍夫曼编码**，对LZ77输出的字符和指针再做一次编码压缩，原理和JPG中的霍夫曼编码相同。不过图片的像素数据通常不是整齐排列的重复序列。为了提高LZ77找重复的效率，PNG在压缩之前还做了**预过滤**。

它把原始像素值变成与相邻像素的差值：如果相邻像素颜色相近，差值趋近于零，数据中出现大量重复的零，LZ77的压缩效率一下子就上来了。这就是为什么PNG对文字截图和纯色LOGO压缩效果极好（相邻像素几乎一样，差值全是零），而对复杂的自然照片效果远不如JPG。

## 三种格式的本质对比

格式对比 → 归纳升华

JPG之所以超小，是因为它通过DCT把人眼不敏感的高频信息直接丢弃——这是数学层面的「取舍策略」。PNG之所以大，是因为它通过DEFLATE不丢任何信息地压缩——这是数学层面的「无损压缩天花板」。截图存PNG更清晰，是因为文字和图标的锐利边缘在JPG的DCT量化中会被模糊，而PNG能精确保留每一个像素的位置和颜色。拍照必须用JPG，则是因为自然照片几乎没有完美的重复模式，PNG的压缩率远不如JPG——在不牺牲视觉质量的前提下，JPG可以做到十倍以上的压缩比。

至于RAW格式，它连「代码」都不是——它是相机传感器捕捉到的原始电信号数据，未经任何数学变换和色彩处理，相当于食材而非菜肴。它的体积最大，但后期调整的空间也最大。

数学方案 → 号召收束

每种格式都是一套数学方案：JPG选择「视觉上差不多就行」，PNG坚持「一个像素都不能少」，而RAW说「我还没开始做菜」。理解了它们背后的数学原理，你就再也不会存错图、用错格式了。

**Tags:** 交互, 知识, 高级

**Categories:** 学科, 数学

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