一、把梦想变成一道题
梦想假设 → 问题引入
每个人都有关于星辰大海的梦想，但要准确描述梦想的大小并不容易。不妨大胆假设梦想是一个长方形，而你的数学能耐仅限于加法和乘法——面对“它的面积是多少”这个问题，该怎么动手？
问题化简 → 概念界定
我们可以把求面积这件事写成一种“输入—输出”关系：M(c厘米, k厘米)=？，其中c是长，k是宽，输出暂时未知。直觉告诉我们，面积只与长和宽有关，没有别的因素了。
二、从经验中推出面积
缩放推理 → 前提铺垫
借助经验来推理：
如果长方形的长扩大两倍，面积也扩大两倍；
宽扩大两倍，面积同样扩大两倍。
这说明面积与长、宽分别成正比。
单位发现 → 归纳升华
那么先看长和宽都是1厘米的情形：M(1厘米, 1厘米)代表一个边长为1厘米的小方格，它的面积就是1个面积单位。
当长扩大c倍、宽扩大k倍，面积自然变成c×k个面积单位。于是\(M\left(\begin{array}{cccc} c; k \ \end{array}\right) = c \cdot k \cdot M\left(\begin{array}{cccc} 1; 1 \ \end{array}\right)\)，即M(c, k)=c×k×面积单位。
公式确立 → 对比深化
这就是长方形面积公式的由来：面积=长×宽，即（S=a×b）。至此，我们都没有可以强记什么公式，面积公式只不过是我们天赋能耐的又一个实例。
三、推开高维之门
维度推广 → 视角拓展
同样的逻辑可以向上延伸。
长方体有长、宽、高三个维度，按相同方法推理，可得：\(M\left(\begin{array}{cc} c; k; g \ \end{array}\right) = c \cdot k \cdot g \cdot M\left(\begin{array}{cc} 1; 1 ; 1 \ \end{array}\right)\)
因此，体积等于长×宽×高。
如果世界真的是四维甚至更高维的，也只需各维度相乘即可：
\(\widetilde{M}\left(\begin{array}{cccc} a_1; a_2 ; a_3 ; a_4 \ \end{array}\right) = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot \widetilde{M}\left(\begin{array}{cccc} 1 ; 1 ; 1 ; 1 \ \end{array}\right)\)
梦想延伸 → 号召收束
从“梦想是个长方形”出发，我们不仅发明了面积，还顺手推开了高维空间的大门。
