你已经初步证明了你确实是有一些能耐，但也只是有限证明，毕竟你会走路并不意味着你一定也会跑步。
那么，现在有一个求长方形面积大小的问题，让我们来看看你的能耐是否足以得出结果。
假设截至当下，你的数学能耐仅限于加法、乘法； 假设你并不知道长方形的面积是长乘以宽； 假设你大概地知道面积这个词指的是二维物体有多大
问题化简
根据前面的知识，当我们把求解长方形的面积看成是一个能耐时，我们可以暂且将此能耐表示作： 面积（输入）=输出，
哦，当然应该是：\(M\left(r\right) = ？\)，（M表示面积，r表示输入，？表示未知的输出）。
直觉告诉我们，长方形的面积与长方形的长和宽有着相关性，并且也没有其它更多的影响因素，因此我们可以把它改写为：\(M\left(\begin{array}{cc} c厘米; k厘米 \ \end{array}\right) =？\)，（M表示面积，c厘米表示长，k厘米表示宽，而输出？是什么，还是不知道）。
注：这里姑且使用长度单位厘米，其它任何长度单位也都是可以的。
推理尝试
根据经验，如果长方形的长扩大两倍，面积也就扩大了两倍。即\(M\left(2\begin{array}{cc} c厘米; k厘米 \ \end{array}\right) = 2M\left(\begin{array}{cc} c厘米； k厘米 \ \end{array}\right)\)。同样，如果长方形的宽扩大两倍，面积也就扩大了两倍。即\(M\left(\begin{array}{cc} c厘米; 2k厘米 \ \end{array}\right) = 2M\left(\begin{array}{cc} c厘米; k厘米 \ \end{array}\right)\)。
变换假设
假如需要计算的长方形的长、宽都是1厘米时，面积可以表示成：\(M\left(\begin{array}{cc} 1厘米; 1厘米 \ \end{array}\right) = ？\) 当长度扩大c倍，宽度扩大k倍，则有：\(M\left(\begin{array}{center center} c \cdot 1厘米; k \cdot 1厘米 \ \end{array}\right) = c \cdot k \cdot M\left(\begin{array}{center center} 1厘米; 1厘米 \ \end{array}\right)\)。
比较发现
现在，我们已经距离成功更进了一步。 现在的问题是，式子后面的\(M\left(\begin{array}{center center} 1厘米; 1厘米 \ \end{array}\right)\)表示长和宽都是1厘米的正方形，这样的正方形究竟是什么意义？
长度1厘米，可以认为是1个厘米单位的长度。于是，边长为1的图形也可以当作是1个单位大小（或单位面积）。 这，岂不就是所谓的面积的单位！
我们总是被告知必须注明单位，现在你知道了，单位面积在这里是整个计算过程不可缺失的一环。
一般推广
至此，面积能耐就可改写为：\(M\left(\begin{array}{center center} c; k \ \end{array}\right) = c \cdot k \cdot M\left(\begin{array}{center center} 1; 1 \ \end{array}\right)\)。它表示依据当前能耐，输入长宽值c、k，就可以得出输出面积值\(c \cdot k \cdot 平方单位\)。 而我们终于证实，这是我们新发现的又一个能耐，它叫长方形面积。
当然，我们也可以像教材一样把它表示成\(s = a \cdot b\)。
三维推广
既然二维平面的长方形有长和宽两个要素，而其面积是\(M\left(\begin{array}{center center} c ; k \ \end{array}\right) = c \cdot k面积单位\)。 那么，三维空间的长方体有着长、宽、高三个要素，其”面积”的表示能不能是\(M\left(\begin{array}{cc} c; k; g \ \end{array}\right) = c \cdot k \cdot g \cdot M\left(\begin{array}{cc} 1; 1 ; 1 \ \end{array}\right)\)呢？ 这里，同上略去单位\(M\left(\begin{array}{cc} 1; 1; 1 \ \end{array}\right)\)后，可得：\(M\left(\begin{array}{cc} c; k ; g \ \end{array}\right) = c \cdot k \cdot g\)。
相信有的同学已经看出来了，这不正是长方体的体积公式么！不错！不过，你从来没想过体积公式是能够证明出来的，毕竟，你之前只是被告知记住就好。
四维推广
顶尖的科学家又告诉我们，世界还是4、5、6、7……n多维的。 谁知道呢，不过根据我们的能耐，同样可以写出四维世界面积计算式： \(\widetilde{M}\left(\begin{array}{center center} a_1; a_2 ; a_3 ; a_4 \ \end{array}\right) = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot \widetilde{M}\left(\begin{array}{center center} 1 ; 1 ; 1 ; 1 \ \end{array}\right)\)（为了表示的方便，用\(\widetilde{M}\)表示四维空间物体体积，用\(a_1、a_2、a_3、a_4\)表示四维空间物体的各维度长度）。
你看，只要你深刻理解了长方形的面积计算，你也就可以计算4维空间物体的“面积”。
